Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak X MIPA 1 Aragorn Rei Azka Sugiarto (3)
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pengertian Nilai Mutlak
Semua bilangan mempunyai nilai mutlak nya masing masing. Semua bilangan mutlak bernilai positif, sehingga nilai bilangan mutlak dari bilangan dengan angka yang sama namun beda notasi positif (+) dan negatif (-) akan mempunyai hasil bilangan mutlak yang sama.
Jika x anggota dari bilangan riil, maka nilai mutlak ditulis dengan |x| dan didefinisikan sebagai berikut:
Hal ini dapat diartikan dengan nilai mutlak dari 5 adalah panjang atau jarak dari titik 0 hingga ke titik 5 maupun (-5).
Nilai mutlak dari (-9) dan 9 adalah 9. Nilai mutlak 0 adalah 0, dan begitu seterusnya. Nilai mutlak akan lebih mudah dipahami dengan melihat gambar berikut:
Pada gambar diatas, dapat dipahami bahwa nilai dari |5| adalah jarak titik 5 dari angka 0 yaitu 5, dan |-5| jarak titik (-5) dari angka 0 yaitu 5.
Jika |x| menyatakan jarak dari titik x ke 0, maka |x-a| merupakan jarak titik x ke titik a. Sebagai contoh, ketika dinyatakan jarak titik 5 ke titik 2 dapat ditulis dengan |5-2|=3
Secara umum dapat dinyatakan bahwa jarak x ke a dapat dituliskan dengan notasi |x-a| atau |a-x|
Sebagai contoh yaitu, jarak suatu bilangan ke titik 3 senilai 7 dapat digambarkan berikut:
Jika diuraikan dalam persamaan aljabar |x-3|=7 dapat diselesaikan sebagai berikut:
Ingat, bahwa |x-3| adalah jarak bilangan x ke titik 3, dengan |x-3|=7 adalah jarak bilangan x ke titik 3 sepanjang 7 satuan.
Sifat-Sifat Nilai Mutlak
Persamaan Nilai Mutlak:
Dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak tersebut biasanya menggunakan definisi di atas. Contohnya:
| x | = 2
Maka persamaan nilai mutlaknya ialah | x | = 2 atau | x | = -2
Dalam menyelesaikan persamaan tersebut terdapat hasil nilai mutlak yaitu bilangan 2 atau -2. Hal ini dikarenakan hasil dari kedua bilangan nilai mutlak tersebut sama yaitu 2 (dengan tanda positif).
Kita juga dapat menyelesaikan persamaan nilai mutlak dengan menggunakan akar kuadrat x (√x²).
Maka:
| x | = 2
√x² = 2
x² = 2²
x² – 2² = 0
(x – 2) (x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
Cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak secara umum dapat menggunakan rumus dibawah ini:
| x | = a ↔ x = a atau x = -a
Berikut sifat-sifat angka mutlak pada umumnya pada persamaan nilai mutlak:
- |x| ≥ 0
- |x|=|-x|
- |x-y|=|y-x|
- |x|=√|x²|
- |x|²=x²
- jika |x|<|y| maka x²<y²
- |xy|=|x| |y|
- |x/y|=|x|/|y|; y≠0
- |x-y|=|x|-|y|
- |x+y|=|x|+|y|
Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
Cara menyelesaikannya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak yaitu menggunakan definisi di atas maupun menggunakan pengoperasian akar.
Cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak secara umum dapat menggunakan rumus dibawah ini:
| x | < a → -a < x < a
| x | > a → x < -1 atau x > a
Kesimpulan:
Persamaan nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak dapat dijabarkan dalam bentuk umum seperti di bawah ini:
Untuk a > 0 berlaku persamaan
a. | x | = a ↔ x = a atau x = -a
b. | x | < a ↔ -a < x < a
c. | x | > a ↔ x < -a atau x > a
Sifat-sifat nilai mutlak pada pertidaksamaan:
Contoh Soal:
1. Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari |3x + 1| = |x – 5| !
Jawab:
|3x + 1| = |x – 5|
3x + 1 = x – 5 atau 3x + 1 = – (x – 5)
3x + 1 = x – 5
3x – x = –5 – 1
2x = –6
x = –3
Atau
3x + 1 = – (x – 5)
3x + 1 = – x + 5
3x + x = 5 – 1
4x = 4
x = 1
Jadi, Himpunan penyelesaian dari |3x + 1| = |x – 5| adalah {–3, 1}.
2. Cari himpunan penyelesaian dari |2x – 5| = 7
Jawab:
|2x – 5| = 7
2x – 5 = 7 atau 2x – 5 = –7
2x – 5 = 7
2x = 7 + 5
2x = 12
x = 6
Atau
2x – 5 = –7
2x = –7 + 5
2x = –2
x = –1
Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x – 5| = 7 adalah {–1, 6}.
3. Temukan himpunan penyelesaian |6x – 3 | ≥ 9
Jawab:
|6x – 3 | ≥ 9
6x – 3 ≤ –9 atau 6x – 3 ≥ 9
6x – 3 ≤ –9
6x ≤ –9 + 3
6x ≤ –6
x ≤ –1
atau
6x – 3 ≥ 9
6x ≥ 9 + 3
6x ≥ 12
x ≥ 2
Jadi, himpunan penyelesaian |6x – 3 | ≥ 9 adalah {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}.
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 7| ≥ |3x + 2|
Jawab:
|2x – 7| ≥ |3x + 2|
2x – 7 ≥ 3x + 2 atau 2x – 7 ≤ – (3x + 2)
2x – 7 ≥ 3x + 2
– 7 – 2 ≥ 3x – 2x
–9 ≥ x
x ≤ –9
Atau
2x – 7 ≥ – (3x + 2)
2x – 7 ≥ – 3x – 2
2x + 3x ≥ – 2 + 7
5x ≥ 5
x ≥ 1
Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x – 7| ≥ |3x + 2| adalah {x | x ≤ –9 atau x ≥ 1}
5. Cari himpunan penyelesaian dari |2x – 3| < 5
Jawab:
|2x – 3| < 5
–5 < 2x – 3 < 5
–5 + 3 < 2x < 5 + 3
–2 < 2x < 8
–1 < x < 4
Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x – 3| < 5 adalah {x | –1 < x < 4}.
Komentar
Posting Komentar