Sistem pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat Dan Beberapa Contoh Soalnya

Nama:Aragorn Rei Azka Sugiarto

Kelas :X mipa 1

• Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat 

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut :

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

  a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

○ Pertidaksamaan kuadrat adalah persamaan kuadrat dengan notasi kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari sama dengan (≤) ataupun lebih dari sama dengan (≥).

  Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut:

  • Tentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Caranya bisa menggunakan metoden pemfaktoran ataupun dengan rumus ABC. 

  • Buat garis bilangan

  • Berdasarkan garis bilangan kita tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

▪︎ Contoh soal 1

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x2 – 8x + 15 ≤ 0 untuk x ∈ R adalah…

A. {x|-5 ≤ x ≥ -3}

B. {x|3 ≤ x ≤ 5}

C. {x|x ≤ -5 atau x ≥ -3}

D. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 5}

E. {x|x ≤ -3 atau x ≥ -5}

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita faktorkan pertidaksamaan diatas dengan cara:

→ x2 – 8x + 15 ≤ 0

→ (x – 3) (x – 5) ≤ 0

→ x1 = 3 atau x2 = 5

Lalu kita buat garis bilangan. Untuk menentukan tanda (+) atau (-) kita subtitusikan angka < 3 (misalkan x = 2) ke x2 – 8x + 15 = 22 – 8 . 2 + 15 = +3. Karena hasilnya positif berarti tanda garis bilangan positif (+, – , +) seperti gambar dibawah ini.        

Karena notasi pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan bertanda negatif atau pada interval 3 ≤ x ≤ 5. Jadi soal ini jawabannya B.

▪︎ Contoh soal 2

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x2 – 5x – 6 > 0 untuk x ∈ R adalah …

A. {x|x < -1 atau x > 6}

B. {x|x < 2 atau x > 3}

C. {x|-3 < x < 2}

D. {x|x < -6 atau x > 6}

E. {x|-6 < x < 1}

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

→ x2 – 5x – 6 > 0

→ (x – 6)(x + 1) > 0

→ x1 = 6 atau x2 = -1

Untuk menentukan tanda garis bilangan kita subtitusikan angka yang lebih kecil dari -1 (misalkan x = – 2) ke pertidaksamaan kuadrat x2 – 5x – 6 = (-2)2 – 5 (-2) – 6 = 4 + 10 – 6 = + 9. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan diawali positif (+ , – , +):

 Karena notasi pertidaksamaan lebih dari (>) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda positif atau pada interval {x|x < -1 atau x > 6}. Jadi soal ini jawabannya A.

▪︎ Contoh soal 3

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 + 4x – 21 ≤ 0 adalah…

A. {x|x ≤ 3 atau x ≥ 7, x ∈ R }

B. {x|x ≤ -3 atau x ≥ 7, x ∈ R }

C. {x|3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R}

D. {x|-7 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}

E. {x|-3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R}

Pembahasan / penyelesaain soal

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

x2 + 4x – 21 ≤

(x + 7)(x – 3) ≤ 0

x1 = -7 atau x2 = 3

Berdasarkan garis bilangan diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 5 adalah {x|-7 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. Soal ini jawabannya D.

▪︎ Contoh soal 4

Himpunan penyelesaian dari 3x2 + 4x > 7 adalah …

A. x < – 1/4 atau x > 0

B. x < – 1/2 atau x > 1

C. x < -1 atau x > 1

D. x < -7/3 atau x > 1

E. x < -1/3 atau x > 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Pertidaksamaan diatas diubah bentuknya menjadi 3x2 + 4x – 7 > 0. Jadi kita ketahui a = 3, b = 4 dan c = -7. Selanjutnya kita tentukan akar-akar dari pertidaksamaan dengan menggunakan rumus ABC:

→ x1,2 = 

-b ± √ b2– 4 . a . c

2 . a

→ x1,2 = 

-4 ± √ 42– 4 . 3 . -7

2 . 3

→ x1,2 = 

– 4 ± √ 100

6

 = 

– 4 ± 10

6

→ x1 = 

-4 + 10

6

 = 1

→ x2 = 

-4 – 10

6

 = 

-14

6

 = – 

7

3

Selanjutnya kita buat garis bilangan dengan cara subtitusi angka yang lebih kecil dari -7/3 (misalkan x = -3) ke 32 + 4x – 7 = 3 . (-3)2 + 4 (-3) – 7 = + 8. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan +, -, + atau:

Karena notasi pertidaksamaan kuadrat > maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda positif x < -7/3 atau x > 1. Soal ini jawabannya D.

▪︎ Contoh soal 5

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 3x – 10 < 0 adalah…

A. x< -2 atau x > 5

B. x < 5

C. -2 < x < 5

D. -5 < x < 2

E. 2 < x < 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menjawab soal ini sebagai berikut:

→ x2 – 3x – 10 < 0

→ (x – 5) (x + 2) < 0

→ x1 = 5 atau x2 = – 2

Untuk membuat garis bilangan kita subtitusikan angka yang lebih kecil dari – 2 (misalkan x = -3) ke x2 – 3x – 10 = (-3)2 – 3 . (- 3) – 10 = + 8. Hasilnya positif sehingga tanda garis bilangan diawali positif (+ , – , +):

Karena notasi pertidaksamaan kuadrat kurang dari (<) maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda negatif atau pada interval -2 < x < 5. Soal ini jawabannya C.