SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

 Nama : Aragorn Rei Azka Sugiarto
 Absen : 2
 Kelas  : X MIPA 1



Sistem persamaan linear-kuadrat (SPLK). 



   Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.


 1.) SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.


 2.) SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.


SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit


  Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut.


y = ax + b (bentuk linear)


y = px2 + qx + r (bentuk kuadrat)


Dengan a,b,p,q,r merupakan bilangan real dan a, p = 0


Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC.




      Secara umum, penyelesaian dari SPLK tersebut dapat ditentukan dengan melalui langkah-langkah berikut.


•> Langkah 1:


Substitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh 


                             ax + b = px² + qx + r 


     px² + qx - ax + r - b = 0


     px² + (q - a)x + (r - b) = 0


  Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat satu variabel, yaitu x. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai x.


•> Langkah 2:


  Nilai-nilai x yang didapat pada Langkah 1 tadi (jika ada) disubstitusikan ke persamaan y = ax + b (agar perhitungannya lebih mudah), untuk memperoleh nilai y. Kita ingat bahwa nilai yang memenuhi persamaan kuadrat px² + (q - a)x + (r - b) = 0 disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak nilai x (banyak akar) dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai diskriminan D = (q - a)² - 4p(r - b). Dengan demikian, banyak anggota dalam himpunan penyelesaian SPLK


                        y = ax + b


                        y = px² + qx + r




Ditentukan oleh nilai diskriminan D dengan aturan berikut.


 1.) Jika D>0, maka SPLK tersebut mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya.


 2.) Jika D = 0, maka SPLK tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.


 3.) Jika D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.


   Anggota dari himpunan penyelesaian suatu SPLK dapat ditafsirkan secara geometris sebagai koordinat titik potong antara garis


 y = ax + b dengan parabola y = px² + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola itu ditentukan oleh nilai diskriminan D dengan aturan berikut.


1.) Jika D > 0, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.


 2.) Jika D = 0, maka garis memotong parabola tepat di satu titik. Dengan kata lain, garis itu menyinggung parabola.


 3.) Jika D < 0, maka garis dan parabola tidak berpotongan.


 


  ● SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit


Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.




● Contoh persamaan dua variabel dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut.


a. x² + y² + 8 = 0


b. x² + 2y² - 3x + y = 0 


c. x² - y² - 3x + 4y + 9 = 0


d. 2x² + xy + y² + 3y - 4 = 0


Secara umum, SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.


px + qy + r = 0 (bagian linear)


ax² + by² + cxy + di + ey + f =0 (bagian kuadrat berbentuk implisit)


dengan a,b,c,d,e,f,p,q,r semuanya merupakan bilangan real dan p,q,a,b = 0 SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dibagi menjadi dua, yaitu bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat difaktorkan.


☆ Berikut ini disajikan beberapa soal mengenai sistem persamaan linear dan kuadrat, disertai dengan pembahasannya.


1.) Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.


x + y – 1 = 0


x2 + y2 – 25 = 0


Jawab:


Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.


⇒ x + y – 1 = 0


⇒ y = 1 – x




Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x, ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:


⇒ x2 + y2 – 25 = 0


⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0


⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0


⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0


⇒ x2 – x – 12 = 0


⇒ (x + 3)(x – 4) = 0


⇒ x = −3 atau x = 4




Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.


■ untuk x = −3 diperoleh:


⇒ x + y – 1 = 0


⇒ −3 + y – 1 = 0


⇒ y – 4 = 0


⇒ y = 4


Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).


■ untuk x = 4 diperoleh:


⇒ x + y – 1 = 0


⇒ 4 + y – 1 = 0


⇒ y + 3 = −3


⇒ y = 4


Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}.




2.) Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.


2x – y – 8 = 0


x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0


Jawab:


Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.


⇒ 2x – y – 8 = 0


⇒ y = 2x – 8


Lalu subtitusikan persamaan y = 2x – 8, ke persamaan kuadrat x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0, sehingga kita peroleh:


⇒ x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0


⇒ x2 + 4x(2x – 8) + 4(2x – 8)2 + 2x + 4(2x – 8) + 1 = 0


⇒ x2 + 8x2 – 32x + 4(4x2 – 32x + 64) + 2x + 8x – 32 + 1 = 0


⇒ x2 + 8x2 – 32x + 16x2 – 128x + 256 + 2x + 8x – 32 + 1 = 0


⇒ 25x2 – 150x + 225 = 0


⇒ x2 – 6x + 9 = 0


⇒ (x – 3)2 = 0


⇒ x – 3 = 0


⇒ x = 3


Setelah nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = 3, ke persamaan linear 2x – y – 8 = 0, yaitu sebagai berikut.


⇒ 2(3) – y – 8 = 0


⇒ 6 – y – 8 = 0


⇒ y = 6 – 8


⇒ y = −2


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, −2)}.




3.) Carilah himpunan-himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini.


x + y = 0 ……….. bagian linear


x2 + y2 – 8 = 0 ….. bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan


Jawab:


Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x, yaitu sebagai berikut.


⇒ x + y = 0


⇒ y = x


Lalu subtitusikan persamaan y = x , ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 8 = 0 sehingga kita peroleh:


⇒ x2 + y2 – 8 = 0


⇒ x2 + (x)2 – 8 = 0


⇒ x2 + x2 – 8 = 0


⇒ 2x2 – 8 = 0


⇒ x2 – 4 = 0


⇒ (x – 2)(x + 2) = 0


⇒ x = 2 atau x = −2


Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = 2 atau x = −2 ke persamaan linear x + y = 0, yaitu sebagai berikut.


■ untuk x = 2 diperoleh:


⇒ x + y = 0


⇒ 2 + y = 0


⇒ y = −2


Kita peroleh himpunan penyelesaian (2, −2)


■ untuk x = −2 diperoleh:


⇒ x + y = 0


⇒ −2 + y = 0


⇒ y = 2


Kita peroleh himpunan penyelesaian (−2, 2)


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, −2), (−2, 2)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 0 dengan lingkaran x2 + y2 = 8. Perhatikan gambar berikut ini



Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

SOAL KONTEKSTUAL BERKAITAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU, SUDUT ELEVASI DAN SUDUT DEPRESI

Gambar
Nama  : Aragorn Rei Azka Sugiarto Kelas   : X mipa 1 Absen : 2 Masalah Kontekstual mengenai Sudut Elevasi dan Sudut Depresi Sebuah pohon berjarak 130 meter dari seorang pengamat dengan tinggi mata pengamat dari tanah adalah 168 cm. Apabila sudut elevasi yang terbentuk adalah 60° dari mata pengamat ke pucuk pohon, maka tinggi pohon tercebut adalah …. Jawab: Agar mudah dalam menyelesaikan masalah di atas, kita harus mampu mentransformasi setiap kalimat dari perrnyataan di atas dalam sebuah gambaran.   Dik: Jarak pengamat ke pohon: 130 meter Tinggi pengamat: 168 cm = 1,68 meter Sudut Elevasi 60° Dit: Tinggi pohon. Penyelesaian: Pertama.  Buatlah ilustrasinya Kedua.  Buatlah pemisalan agar memudahkan kita dalam mencari perbandingannya Misalkan: Tinggi pohon – tinggi pengamat       =  t Jarak pengamat ke pohon                 = x Sehingga kita bisa membuat ilustrasi yang lebih sederhana dengan menggunakan segitiga siku-siku Dari gambar segitiga siku-siku di atas, jika kita menjadikan sudut 
Baca selengkapnya

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

Nama: Aragorn Rei Azka Sugiarto Kelas : X mipa 1 Contoh Soal Fungsi Komposiis Dan Fungsi Inverst Contoh Soal Fungsi Komposisi: 1. Jika f(x) = \frac{x}{x-1}, x \not= 1Dan g(x) = f(x^2 +1)Tentukanlah nilai:g(f(x)) Pembahasan: g(x) = f(x^2+1) g(x) = \frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = \frac{x^2+1}{x^2} g(x) = 1+ \frac{1}{x^2} Maka: g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(f(x))^2} g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(\frac{x}{x-1})^2} = 1 + (\frac{x-1}{x})^2 = 1 + \frac{x^2-2x+1}{x^2} g(f(x)) = 2 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} 2. Diberikan dua buah fungsi yang masing-masing f (x) dan g (x) berturut-turut yaitu : f (x) = 3x + 2 g (x) = 2 − x Tentukanlah: a) (f o g) (x) b) (g o f) (x) Jawaban: Data: f (x) = 3x + 2 g (x) = 2 − x a) (f o g)(x) “Masukkanlah g (x) nya kef (x)” hingga menjadi: (f o g)(x) = f ( g(x) ) = f (2 − x) = 3 (2 − x) + 2 = 6 − 3x + 2 = − 3x + 8 b) (g o f ) (x) Hingga menjadi : (f o g) (x) = g (f (x) ) = g ( 3x + 2) = 2 − ( 3x + 2) = 2 − 3x − 2 = − 3x 2. Diketahui fungsi f (x) = 3x − 1 dan g (x) =
Baca selengkapnya
Gambar
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL   Nama: Aragorn Rei Azka Sugiarto (2)   Kelas: X mipa 1 Persamaan irasional ialah persamaan yang memuat variabel atau perubahnya berada dalam tanda akar. Contoh : Berikut ini bukan persamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar : Hal ini karena tidak ada variable di dalam tanda akar. Secara umum persamaan irasional berbentuk  Dengan F(x) dan G(x) suatu bilangan polinominal. Setiap bilangan real yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan irasional memberikan pernyataan yang benar disebut penyelesaian atau akar persamaan irasional. Contoh : Tentukan nilai yang memenuhi Penyelesaian : Agar berlaku harus dipenuhi 1.) 2.) Kedua syarat ini dapat di gabung menjadi X ≥ 5 Lalu selesaikan persamaannya Jadi diperoleh x = 7 atau x = 3. Karena harus memenuhi x ≥ 5 maka nilai yang memenuhi adalah x = 7. Ini merupakan contoh persamaan irasional yang mempunyai penyelesaian tunggal. Pertidaksamaan Irasional Pertidaksamaan Irasional adalah pertidaksamaan (
Baca selengkapnya